Irrationaalisuuden loppu: matemaatikko ratkaisee 200 vuotta vanhan ongelman 📐

Lähde : Amerikkalainen Matemaattinen Kuukauslehti

Lähes 200 vuoden ajan "korkeamman asteen polynomiyhtälöt" ovat vastustaneet kaikkia yleisiä ratkaisuja. Australialainen matemaatikko ehdottaa uutta menetelmää, joka hylkää irrationaaliset luvut innovatiivisten numeeristen sarjojen hyväksi.

Tämä edistysaskel, joka julkaistiin The American Mathematical Monthly -lehdessä, kyseenalaistaa 1800-luvulta asti vakiintuneita algebrallisia periaatteita. Luottamalla yhdistelmäsarjoihin se avaa odottamattomia näkymiä puhtaalle ja soveltavalle matematiikalle.

Korkean asteen polynomien historiallinen umpikuja

Polynomiyhtälöitä, kuten x² + 5x + 6 = 0, on ratkaistu antiikin ajoista lähtien. Ne ovat läsnä kaikkialla, kuten kiertoratojen laskennassa, säätiedotuksissa tai tietokonetietoturvassa! Kuitenkin jo viidennessä asteessa (x⁴:n jälkeen) ne muuttuvat ratkaisemattomiksi, koska ne vaativat lukuja kuten √2 tai π, joiden desimaalit eivät koskaan lopu. Évariste Galois todisti vuonna 1832, että yleinen ratkaisu radikaalien avulla on mahdotonta, pakottaen matemaatikot numeerisiin approksimaatioihin.

Norman Wildberger, Uuden Etelä-Walesin yliopistosta, hylkää tämän rajoituksen. Hänen mukaansa irrationaalisten lukujen, kuten √2 tai π, käyttö tuo mukanaan keinotekoisia monimutkaisuuksia. Hänen mielestään nämä luvut, jotka vaativat äärettömän määrän desimaaleja, ovat "käytännössä laskemattomia". Hänen ratkaisunsa? Ignoroida ne.

Itse asiassa hänen menetelmänsä välttää nämä sudenkuopat käyttämällä potenssisarjoja, polynomilaajennuksia, joiden termit voivat olla äärettömiä. Historialliselle kuutioyhtälölle testattuna se on tuottanut tarkkoja tuloksia ilman radikaalien käyttöä.

Avain: geodeettiset luvut

Innovaatio perustuu Catalanin lukujen yleistämiseen, yhdistelmäsarjaan, joka osoittaa, miten monikulmio voidaan jakaa kolmioiksi. Wildberger ja hänen kollegansa Dean Rubine ovat laajentaneet tätä logiikkaa korkeampiin ulottuvuuksiin, luoden rakenteen nimeltä Geode.

Nämä uudet luvut mahdollistavat monimutkaisten yhtälöiden ratkaisemisen hyödyntämällä monidimensionaalisia geometrisia kuvioita. Heidän lähestymistapansa, joka on puhtaasti algebrallinen, kiertää perinteisiä approksimaatioita. Se voisi optimoida algoritmeja tietojenkäsittelyssä tai biologisessa mallinnuksessa.

Tuloksena? Jopa x⁵ muuttuu ratkaistavaksi! 1600-luvun yhtälölle testattuna hänen tekniikkansa on antanut tarkkoja tuloksia... ilman koskaan äärettömien lukujen käyttöä. Geode tarjoaa myös tutkimusalueen, jota ei ole vielä tutkittu. Käytännön sovelluksia on odotettavissa, kuten kiertoratalaskentojen parantaminen tai tietojen pakkaaminen.